Universidade do Minho L.E.M., L.M.C.C. - 4$^\circ$ ano

Departamento de Matemática Mat. (Esp. Ensino), L.C.C. - 3$^\circ$ ano

Teoria de Números Computacional

folha vii $2^\circ$ semestre, 2006/2007

1. Determine
   (a) $\mathrm{ord }_5 2$         (b) $\mathrm{ord }_{13} 10$         (c) $\mathrm{ord }_{10} 3$         (d) $\mathrm{ord }_{10}7$

2. Calcule
   (a) $\mathrm{ord }_{11} 3$         (b) $\mathrm{ord }_{17} 2$         (c) $\mathrm{ord }_{21} 10$         (d) $\mathrm{ord }_{25} 9$

3. Mostre que
   1. 5 é uma raiz primitiva de 6;
   2. 2 é uma raiz primitiva de 11.

4. Encontre uma raiz primitiva módulo cada um dos seguintes naturais:
   (a) 4         (b) 5         (c) 10         (d) 13         (e) 14         (f) 18

5. Mostre que 12 não tem raizes primitivas.

6. Mostre que $20$ não tem raizes primitivas.

7. Mostre que se $(a,n)=1$ então $\mathrm{ord }_n a^{-1}=\mathrm{ord }_n a$.

8. Mostre que se $1=(a,n)=(b,n)=(\mathrm{ord }_n a,\mathrm{ord }_n b)$ então $\mathrm{ord }_n(ab)=\mathrm{ord }_n a \cdot \mathrm{ord }_n b$.

9. Mostre que se $(a,n)=1$ então e $\mathrm{ord }_n a=st$ então $\mathrm{ord }_n a^t=s$.