UNIVERSIDADE DO MINHO

CENTRO DE MATEMÁTICA

O Centro de Matemática da Universidade do Minho decidiu organizar o Dia das Equações, que consiste num conjunto de cinco palestras sobre Equações Diferenciais Ordinárias e Equações de Derivadas Parciais.

O evento terá lugar no dia 31 de Outubro, no Anfiteatro da Química do edifício da Escola de Ciências do Campus de Gualtar da Universidade do Minho, com início às 11h e fim às 17h 20m.

Porque o almoço do encontro decorrerá no Restaurante Panorâmico da Universidade do Minho, pedimos que quem deseja participar mande uma mensagem de correio electrónico para lisa@math.uminho.pt, até ao dia 28 de Outubro, para que se possa efectuar a reserva no restaurante.

Programa

Dia das Equações - 31 de Outubro de 2008

Anfiteatro da Química, edifício da Escola de Ciências

Horário:

11:00 - 11:50 :: Eduardo Liz

Sobre a conxectura de Wright: ecuacións diferenciais con atraso, dinámica de poboacións e numeros primos
Departamento de Matemática Aplicada II, Universidade de Vigo

11:55 - 12:45 :: Fernando Miranda

Um problema de antenas usando funções com valores nas medidas
Departamento de Matemática, Universidade do Minho

ALMOÇO

14:15 - 15:05 :: Eugénio Rocha

Existence of solutions of elliptic problems: a general nonlinear eigenvalue problem
Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro

15:10 - 16:00 :: Mahendra Panthee

On the well-Posedness for some perturbations of the KdV equation with low regularity data
Centro de Matemática, Universidade do Minho

PAUSA PARA CAFÉ

16:30 - 17: 20 :: Ana Jacinta Soares

Um resultado de existência global para a equaçãoao de Boltzmann discreta
Departamento de Matemática, Universidade do Minho

Resumos das palestras

Eduardo Liz

Sobre a conxectura de Wright: ecuacións diferenciais con atraso, dinámica de poboacións e números primos

Resumo:     Motivado por un problema de teoría de números, Edward M. Wright probou en 1955 un resultado moi preciso sobre a estabilidade global do equilibrio positivo $x = K$ na ecuacíon loxística con atraso

$$x'(t)=p\,x(t) \left(1- \frac{x(t-r)}{K}\right),\quad p>0,\ r>0.$$        (1)

Tras unha breve introduccíon ás ecuacíons diferenciais con atraso, nesta presentacíon revísanse as motivacíons do teorema de Wright en teoría de números e as súas consecuencias en dinámica de poboacíons. A continuacíon preséntanse algúns resultados recentes que xeneralizan o teorema de Wright e botan nova luz sobre a conxectura, suxerida no artículo de Wright e ainda non resolta, acerca da relacíon entre a estabilidade local e a estabilidade global do equilibrio positivo na ecuacíon (1). Como subproducto, discútese unha conxectura análoga suxerida por Simon A. Levin e Robert M. May en 1976 para un modelo discreto de poboacíon rexido por unha ecuacíon en diferenzas.

Fernando Miranda

Um problema de antenas usando funções com valores nas medidas

(Em colaboração com Lisa Santos)

Resumo:     A substituição das leis constitutivas clássicas por leis do tipo potência num modelo linear, proposto por Duvaut-Lions, para um problema de antenas, conduz a um sistema hiperbólico não linear que generaliza o modelo de partida. Usando o método de Galerkin, as propriedades dos espaços funcionais naturais associados ao problema e explorando a dualidade $L^p - L^{p'}$, obtém-se existência de solução, num sentido generalizado, através de uma passagem ao limite, no sentido das funções com valores nas medidas, de uma família de soluções de problemas aproximados.

Mahendra Panthee

On the well-Posedness for some perturbations of the KdV equation with low regularity data

Resumo:     We study some well-posedness issues for the initial value problem (IVP) associated to the equation

$\dispalystyle \par u_t + u_{xxx} + \eta\,Lu + uu_x = 0,\quad x\in\mathbb{R},\ t \geq 0;$        (1)

where $\eta > 0$, $\hat{Lu}(\xi)=-\Phi(\xi)\hat{u}(\xi)$ and $\Phi$ is bounded from above. Using the theory developed by Bourgain and Kenig, Ponce and Vega, we prove that the IVP associated to (1) is locally well-posed for given data in Sobolev spaces $H^s(\mathbb{R})$ with regularity below $L^2$. Examples of the model (1) are the Ostrovsky-Stepanyams-Tsimring equation for $\Phi(\xi)=\vert\xi\vert-\vert\xi\vert^3$, the derivative Korteweg-de Vries-Kuramoto- Sivashinsky equation for $\Phi(\xi)=\xi^2-\xi^4$and the Korteweg-de Vries- Burguers equation for $\Phi(\xi)=\xi^2$.

Eugénio Rocha

Existence of solutions of elliptic problems: a general nonlinear eigenvalue problem

Resumo:     First, we describe the main issues related with the search of multiple nontrivial solutions of (nonlinear) elliptic equations. A brief survey of recent results for such equations driven by different operators and several types of nonlinearities (p-superlinear, resonant, asymptotically p-linear, convex-concave, and with/without the Ambrosetti-Rabinowitz condition) will be presented. Then, we focus on the study of superlinear nonlinear eigenvalue problems for p-Laplacian-like operators showing that, under some general hypotheses, for every $\lambda > 0$, the problem has three nontrivial smooth solutions (joint work with N. Papageorgiou). This result improves several works in the literature and, as far as we know, it is new even for the semilinear problem. If we have time, we also sketch the main ideas behind the study of an inhomogeneous semilinear equation with critical exponent and singular term, in particular, showing the existence of four nontrivial solutions with (at least one) sign changing solution (joint work with J. Chen). This result extends some previous works as Tarantello (1993), Kang-Deng (2005) and Hirano-Shioji (2007). We end the talk with some open problems.

Palavras-chave:p-Laplacian-type operators, critical point theory, strong deformation retract, homotopy type, critical groups, Morse theory, Hardy inequality, singular term.

Ficheiros relacionados: abs-myid60.pdf, abs-myid57.pdf

Ana Jacinta Soares

Um resultado de existência global para a equação de Boltzmann discreta

(Em colaboração com Filipe Oliveira, Universidade Nova de Lisboa)

Resumo:     A equação de Boltzmann discreta (EBD) consiste num sistema hiperbólico de equações com termos não lineares de tipo polinomial, que descreve a evolução de um gás constituído por moléculas idênticas que se movimentam com velocidades pertencentes a um conjunto finito de vectores previamente fixado, e que estão sujeitas a um processo de colisões. Estas equações têm sido amplamente utilizadas em teoria cinética, para estudar problemas de engenharia envolvendo gases com reacções químicas, como por exemplo os problemas de ondas de detonação. Nesta exposição será apresentado um resultado de existência global de solução num espaço funcional adequado, para uma EBD que modela gases sujeitos a reacções químicas.