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Universidade do Minho
MiEB
Departamento de Matemática
Álgebra Linear C
folha vii
2007/2008
- Considere a matriz
.
- Calcule o polinómio característico de .
- Use o comando poly(A) para confirmar o resultado que obteve na alínea anterior.
- Calcule os valores próprios de .
- Confirme os resultados obtidos na alínea anterior usando o comando [v,e] = eig(A).
- Compare o determinante de com o produto dos seus valores próprios.
- Compare o traço1 de com a soma dos seus valores próprios.
- Calcule os valores próprios de , fazendo
> eig(A^2)
e compare-os com os quadrados dos valores próprios de .
- Seja a matriz cujas colunas são os vectores próprios linearmente independentes. Por exemplo, pode tomar como a matriz v da alínea (d). Calcule .
- Troque duas colunas da matriz descrita na alínea anterior e efectue, de novo, o produto . Comente o resultado obtido.
- Considere a matriz B = [1,-1; 1,1].
- Calcule o polinómio característico e mostre que não tem valores próprios reais.
- Compare o determinante de com o produto dos seus valores próprios.
- Compare o traço de com a soma dos seus valores próprios.
- Calcule os valores próprios de compare-os com os quadrados dos valores próprios de .
- Seja a matriz cujas colunas são os vectores próprios linearmente independentes. Calcule .
- Troque duas colunas da matriz descrita na alínea anterior e efectue, de
novo, o produto . Comente o resultado obtido.
- Considere a matriz C=[2 1 0; 0 2 0; 0 0 3].
- Calcule o polinómio característico e os valores próprios (e a sua multiplicidade algébrica).
- Calcule a dimensão dos respectivos espaços próprios.
- Compare as multiplicidades algébrica e geométrica.
- Mostre que a matriz não é diagonalizável.
- Mostre que
- se é valor próprio de então é valor próprio de ;
- uma matriz nilpotente não tem valores próprios não nulos.
- Mostre que duas matrizes semelhantes têm o mesmo espectro.
- Para cada uma das seguintes matrizes, calcule os valores próprios e os respectivos espaços próprios (indicando uma base para os espaços próprios).
(a)
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(b)
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(c)
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(d)
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(e)
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(f)
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(g)
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(h)
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- Calcule
.
- Considere a matriz
.
- Determine os valores próprios de .
- Determine os vectores próprios de e diagonalize .
- Usando o resultado da alínea , determine uma matriz tal que .
- Considere a matriz
.
- Verifique que são os valores próprios de .
- Verifique se
é vector próprio associado ao valor próprio e se
é vector próprio associado ao valor próprio 5.
- Diga, justificando, se a matriz
é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
- Diga, justificando, se a matriz é diagonalizável, e caso
afirmativo, diagonalize-a.
- Considere a matriz
.
- Verifique que são os valores próprios de .
- Verifique se
é vector próprio associado ao valor próprio 3 e se
é vector próprio associado ao valor próprio -1.
- Diga, justificando, se a matriz
é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
- Diga, justificando, se a matriz é diagonalizável, e caso afirmativo, diagonalize-a.
- Considere a matriz
.
- Verifique que são os valores próprios de .
- Verifique se
é vector próprio associado ao valor próprio e se
é vector próprio associado ao valor próprio .
- Diga, justificando, se a matriz
é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
- Diga, justificando, se a matriz é diagonalizável, e caso afirmativo, diagonalize-a.
- Considere a matriz
.
- Verifique que são os valores próprios de .
- Verifique se
é vector próprio associado ao valor próprio e se
é vector próprio associado ao valor próprio 2.
- Diga, justificando, se a matriz
é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
- Diga, justificando, se a matriz é diagonalizável, e caso
afirmativo, diagonalize-a.
- Dada a matriz real
,
- calcule os valores próprios e respectivos espaços próprios;
- verifique que a matriz dada não é
diagonalizável.
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Pedro Patricio
2008-01-07