Produto

Resta-nos definir o produto matricial.

Seja $A= \left[a_{ij} \right]$ uma matriz $m\times p$ e $B=\left[b_{ij} \right]$ uma matriz $p\times n$. O produto de $A$ por $B$, denotado por $AB$, é a matriz $m \times n$ cujo elemento $(i,j)$ é $a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{in} b_{nj}$. Assim,

$$AB= \left[\sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj} \right]_{m \times p}$$    e portanto $$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} (A)_{ik} (B)_{kj}.$$

Atente-se nas dimensões de $A$ e $B$ na definição anterior.

Antes de fazermos referência a algumas propriedades, vejamos uma outra forma exprimir o produto de duas matrizes. Para tal, assuma que $X=\left[\begin{array}{cccc}x_1&x_2&\dots &x_n\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}y_1 y_2 \vdots y_n\end{array}\right]$, sendo a primeira do tipo $1\times n$ e a segunda do tipo $n\times 1$. Pelo que acabámos de referir, o produto de $X$ por $Y$ está bem definido, sendo a matriz produto do tipo $1\times 1$, e portanto, um elemento de ${\mathbb{K}}$. Esse elemento é $x_1y_1+x_2y_2+\dots x_ny_n$. Voltemos agora ao produto de $A_{m\times p}$ por $B_{p\times n}$, e fixemos a linha $i$ de $A$ e a coluna $j$ de $B$. Ou seja, a matriz linha $\left[\begin{array}{cccc}a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{ip}\end{array}\right]$ e a matriz coluna $\left[\begin{array}{c}b_{1j} b_{2j} \vdots b_{pj}\end{array}\right]$. O produto da primeira pela segunda é o elemento de ${\mathbb{K}}$ dado por $a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ip}b_{pj}=\displaystyle\sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}$. Ora, este elemento não é mais nem menos que a entrada $(i,j)$ da matriz produto $AB$. Ou seja, a entrada $(i,j)$ de $AB$ é o produto da linha $i$ de $A$ pela coluna $j$ de $B$.

Vejamos algumas propriedades deste produto de matrizes, onde as dimensões das matrizes $A,B,C,I,0$ são tais que as operações indicadas estão definidas, e $\alpha \in {\mathbb{K}}$:

1. O produto de matrizes é associativo $(AB)C=A(BC)$;
2. O produto de matrizes é distributivo em relação à soma $A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC$;
3. A matriz identidade é o elemento neutro para o produto: $AI=A, IA=A$;
4. A matriz nula é o elemento absorvente para o produto: $0A=0,A0=0$;
5. $\alpha (AB)=(\alpha A)B = A (\alpha B)$.

Façamos a verificação da primeira igualdade de $(1)$. A verificação de que as matrizes são do mesmo tipo fica ao cargo do leitor. Iremos apenas verificar que a entrada $(i,j)$ de $A(B+C)$ iguala a entrada $(i,j)$ de $AB+AC$. Ora, supondo que $A$ tem $p$ colunas, e portanto que $B$ e $C$ têm $p$ linhas,

$$(A(B+C))_{ij} = \sum_{k=1}^p (A)_{ik}((B)_{kj}+(C)_{kj})$$

$$= \sum_{k=1}^p \left((A)_{ik}(B)_{kj}+(A)_{ik}(C)_{kj}\right)$$

$$= \sum_{k=1}^p (A)_{ik}(B)_{kj}+\sum_{k=1}^p(A)_{ik}(C)_{kj}$$

$$= (AB)_{ij}+(AC){ij}=(AB+AC)_{ij}.$$

Verifiquemos também a propriedade $(3)$. Note-se que $(I)_{i}=1$ e $(I)_{ij}= 0$ se $i \ne j$. Ora $(AI)_{ij}=\sum_{k=1}^p (A)_{ik} (I)_{kj}=(A)_{ij}$.

É importante notar que o produto matricial não é, em geral, comutativo. Por exemplo, $\left[\begin{array}{cc}1 & 0 0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1... ...0&1 0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 0 0&0\end{array}\right]$. A lei do anulamento do produto também não é válida, em geral, no produto matricial. Por exemplo, $\left[\begin{array}{cc}1 & 0 0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&0 0&1\end{array}\right]=0$, sem que um dos factores seja nulo. Ou seja, $AB=0 \nRightarrow \left( A=0 \text{ ou } B=0\right)$. De uma forma mais geral, $\left(AB=AC \text{ e } A \ne 0 \right) \nRightarrow \left( B=C \right)$, já que, por exemplo, $\left[\begin{array}{cc}1 & 0 0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&2... ... & 0 0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&2 -1&3\end{array}\right]$.

Como é fácil de observar, a soma de duas matrizes triangulares inferiores [resp. triangulares superiores] é de novo triangular inferior [resp. triangular superior]. O que se pode dizer em relação ao produto?

Teorema 2.2.1   O produto de matrizes triangulares inferiores [resp. triangulares superiores] é de novo uma matriz triangular inferior [resp. triangular superior].

Sejam $A,B$ duas matrizes triangulares inferiores de tipo apropriado. Ou seja, $(A)_{ij},(B)_{ij}=0$, para $i<j$. Pretende-se mostrar que, para $i<j$ se tem $(AB)_{ij}=0$. Ora, para $i<j$, e supondo que $A$ tem $p$ colunas, $(AB)_{ij}= \sum_{k=1}^p (A)_{ik}(B)_{kj}=\sum_{k=1}^i (A)_{ik}(B)_{kj}=0$.

Por vezes é conveniente considerar-se o produto matricial por blocos. Para tal, considere as matrizes $A$ e $B$ divididas em submatrizes

$$A=\left[\begin{array}{cc} A_{11}&A_{12} A_{21}&A_{22}\end{array... ...ht], B=\left[\begin{array}{cc} B_{11}&B_{12} B_{21}&B_{22}\end{array}\right]$$

de forma conforme as operações descritas de seguida estejam definidas, então

$$AB=\left[\begin{array}{cc} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{1... ...22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\end{array}\right].$$

De uma forma mais geral, se

$$A=\left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1p}\\ ... ...vdots & \ddots & \vdots\\ B_{pn} & B_{pn} & \cdots & B_{pn} \end{array}\right]$$

em que as submatrizes são tais que as operações seguintes estão bem definidas, então

$$AB= \left[\begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^p A_{1k}B_{k1} & \sum_{k... ...sum_{k=1}^p A_{mk}B_{k2} & \cdots &\sum_{k=1}^p A_{mk}B_{kn}\end{array}\right].$$